ГИБДД – существительное женского рода: российская ГИБДД.

В приведенном примере правильно со строчной. С прописной корректно как первое слово в официальных названиях: Государственный исторический музей, Государственный реестр РФ. В остальных случаях, как правило, написание со строчной.

Верно: российский МИД.

Слова нравственное качество здесь неуместны. Лучше использовать, например, слово явление.

Возможно, Вам поможет пособие Л. А. Шкатовой, Е. В. Харченко.

По правилам орфографии написан третий вариант. Обратите внимание: кавычки в названии возможны только в том случае, если название стоит после родового слова, с которым не согласуется. 

Верно: российский Кавказ.

Написание со строчной: российский рубль, американский рынок. В составе собственных наименований, в названиях учреждений, организаций, обществ пишется, как правило, прописная: Российская академия наук, фильм «Американский пирог».